正态分布（英文 ：Normal distribution）又称为常态分布或高斯分布（Gaussian distribution） ，最早由棣莫弗（Abraham de Moivre）在求二项分布的定点及独霸渐近公式中掉落踪掉落踪 。C.F.高斯在研究测量偏向时从此外一个角度导出了它 。理定P.S.拉普拉斯和高斯研究了它的义特性质 。是正态指甚正态一个在数学 、物理及工程等局限都特别很是分布分布次要的概率分布 ，在统计学的定点及独霸良多方面有侧重除夜的影响力。
正态曲线呈钟型 ，理定两端低 ，义特中心高 ，正态指甚正态放置对称因其曲线呈钟形 ，分布分布是定点及独霸以人们又经常称之为钟形曲线 。
若随机变量X屈就一个数学期看为μ 、理定方差为σ2的义特正态分布 ，记为N(μ ，σ2) 。其概率密度函数为正态分布的期看值μ决意了其职位 ，其标准差σ决意了分布的幅度 。当μ = 0,σ = 1时的正态分布是标准正态分布。
正态分布定见是由法国数学家棣莫弗（Abraham de Moivre）于1733岁首度提出的 ，后由德国数学家Gauss率先将其独霸于地舆学研究 ，故正态分布又叫高斯分布，高斯这项工难堪刁难儿女的影响极除夜 ，他使正态分布同时有了"高斯分布"的称号 ，儿女之所以多将最小二乘法的创作创造权回之于他 ，也是出于这一工作 。 [1] 但德国10马克的印有高斯头像的钞票，其上还印有正态分布的密度曲线。这传递了一种设法 ：在高斯的实足科学供献中 ，其对人类文明影响最除夜者 ，就是这一项。在高斯刚作出这个创作创造之初 ，大年夜大年夜约人们还只能从其幻想的简化下往评价其优胜性 ，其全数影响还不克不及充分看出来 。这要到20世纪正态小样本幻想充分展开起交往后 。拉普拉斯很快得知高斯的工作 ，并马除夜将其与他创作创造的中心极限制理联络起来 ，为此，他期近将宣布的一篇文章（宣布于1810年）上加上了一点补偿，指出如若偏向可算作良多量的叠加，屈就他的中心极限制理 ，偏向理应有高斯分布 。这是汗青上第一次提到所谓"元偏向学说"——偏向是由除夜量的 、由各类启事产生发火的元偏向叠加而成。后分开1837年 ，海根（G.Hagen）在一篇论文中正式提出了这个学说 。
真实 ，他提出的编制有相昔时夜大年夜大年夜的局限性 ：海根把偏向想象成个数良多的、自力同分布的"元偏向" 之和 ，每只取两值 ，其概率都是1/2 ，由此解缆 ，按棣莫弗的中心极限制理，当即就得出偏向（近似地）屈就正态分布 。拉普拉斯所指出的这一点有重除夜的意义，在于他给偏向的正态幻想一个更天然公允 、更令人敬佩的诠释 。因为 ，高斯的说法有一点轮回论证的气味：因为算术平均是出色的 ，推出偏向必须屈就正态分布；反过往 ，由后一结论又推出算术平均及最小二乘估计的出色性，故必须认定这二者之一（算术平均的出色性 ，偏向的正态性） 为起点。但算术平均幻想下场并没有自行创建的出处 ，以它作为幻想中一个预设的起点 ，终觉有其窘蹙的中心 。拉普拉斯的幻想把这断裂的一环邻接起来，使之成为一个调和的集团 ，实有着极重除夜的意义。
因为一样往常的正态集团其图象不必定关于y轴对称 ，对任一正态集团 ，其取值小于x的概率 。只需会用它求正态集团在某个特定区间的概率便可。
为了便于描摹和独霸 ，常将正态变量作数据转换。将一样往常正态分布转化陋习范正态分布 。
若
屈就标准正态分布,经由过程查标准正态分布表便可以直接筹算出原正态分布的概率值。故该变卦被称为标准化变卦 。（标准正态分布表 ：标准正态分布表中列出了标准正态曲线下从-∞到X（往后值）局限内的面积比例 。）
1 、一维正态分布
若随机变量 屈就一个职位参数为 、标准参数为 的概率分布 ，且其概率密度函数为 ：
则这个随机变量就称为正态随机变量
，正态随机变量屈就的分布就称为正态分布
，记作
，读作X屈就
，或X屈就正态分布 。
μ维随机向量具有近似的概率规律时 ，称此随机向量屈就***正态分布 。多元正态分布有很好的性质 ，比如 ，多元正态分布的边沿分布仍为正态分布 ，它经任何线性变卦掉落踪掉落踪的随机向量仍为***正态分布 ，出格它的线性组合为一元正态分布 。
本词条的正态分布是一维正态分布 ，此外***正态分布拜会"二维正态分布" 。
2 、标准正态分布
当
时 ，正态分布就成为标准正态分布 ：
1 、集结性：正态曲线的岑岭位于正中心，即均数地址的职位 。
2、对称性：正态曲线以均数为中心 ，放置对称 ，曲线两端永远不与横轴订交 。
3、平均变卦性 ：正态曲线由均数地址处最早 ，分袂向放置两侧慢慢平均降低 。
4 、正态分布有两个参数，即均数μ和标准差σ ，可记作N（μ，σ） ：均数μ决意正态曲线的中心职位；标准差σ决意正态曲线的高大陡峭或扁平程度 。σ越小 ，曲线越高大陡峭；σ越除夜 ，曲线越扁平 。
5 、u变卦 ：为了便于描摹和独霸 ，常将正态变量作数据转换。
1、综述
(1)、估计频数分布 一个屈就正态分布的变量只需晓得其均数与标准差便可屈就公式便可估计肆意取值局限内频数比例 。
(2) 、制订参考值局限
● 正态分布法 合用于屈就正态（或近似正态）分布方针和可以经由过程转换后屈就正态分布的方针 。
●百分位数法 经常独霸于偏态分布的方针 。表3-1中两种编制的单两侧界值都应谙练掌控 。
(3) 、质量独霸 ：为了独霸考验考验中的测量（或考验考验）偏向 ，常以 作为上 、下自创值 ，以 作为上 、下独霸值。多么做的按照是 ：正常气候下测量（或考验考验）偏向屈就正态分布 。
(4) 、正态分布是良多统计编制的幻想根本 。考验 、方差分化 、相干和回回分化等多种统计编制均请求分化的方针屈就正态分布 。良多统计编制当然不请求分化方针屈就正态分布 ，但照顾的统计量在除夜样本时近似正态分布 ，是以除夜样本时这些统计揣度编制也是以正态分布为幻想根本的 。
2 、频数分布
例1.10 某地1993年抽样查询访谒了100名18岁男除夜师长教师身高（cm），其均数=172.70cm ，标准差s=4.01cm ，①估计该地18岁男除夜师长教师身高在168cm以下者占该地18岁男除夜师长教师总数的百分数；②分袂求X+-1s 、X+-1.96s 、X+-2.58s局限内18岁男除夜师长教师占该地18岁男除夜师长教师总数的理论百分数 ，并与幻想百分数斗劲 。
本例 ，μ 、σ未知但样本含量n较除夜，按式（3.1）用样本均数X和标准差S分袂庖代μ和σ ，求得u值 ，u=（168-172.70）/4.01=-1.17。查附表标准正态曲线下的面积 ，在表的右边找到-1.1 ，表的上方找到0.07，二者订交处为0.1210=12.10% 。该地18岁男除夜师长教师身高在168cm以下者 ，约占总数12.10% 。此外筹算下场见表3 。
表3 100名18岁男除夜师长教师身高的理论分布与幻想分布
100名18岁男除夜师长教师身高的理论分布与幻想分布
3、综合本质研究
经历统计学统计规律注解，师长教师的智力程度 ，包含进修身手 ，理论出手身手等呈正态分布。是以正常的考验下场分布应根本屈就正态分布 。考验分化请求绘制出学见成效分布的直方图，以"中心高、两端低"来衡量下场契合正态分布的程度 。其评价标准认为 ：考见成效分布气候直方图，根本呈正态曲线状 ，属于好 ，假定略呈正（负）态状，属于中等 ，假定呈严重偏态或无规律 ，就是差的 。
从概率统计规律看 ，"正常的考验下场分布应根本屈就正态分布"是切确的 。可是必须思虑人与物的本质不合 ，和经历的有所作为可使"随机"遭到干与干与 ，用曲线或直方图的外形来评价考验下场就有损掉落踪落偏颇 。良多经历专家（如上海顾泠沅 、美国布鲁姆等）已经由过程幻想论证 ，经历是可以除夜有作为的 ，可以做到除夜除夜都师长教师合格 ，并且除夜都师长教师可以得高分 ，考验下场曲线是偏正态分布的 。可是经久遭到"中心高 、两端低"标准的影响 ，限制了教员的作为 ，阻拦了除夜都师长教师可以学好的决意决意决意决计。这是很除夜的曲解 。但凡正态曲线有一条对称轴 。当某个分数（或分数段）的考生人数最多时，对应曲线的最高点 ，曲直线的顶点 。该分数值在横轴上的对应点与顶点邻接的线段就是该正态曲线的对称轴。考生人数最多的值是峰值 。我们寄看到 ，下场曲线或直方图理论上很少对称的 ，称之为峰线更契合 。
4 、医学参考值
某些医学气候，似乎质群体的身高 、红细胞数 、血红蛋白量 ，和考验考验中的随机偏向，展示为正态或近似正态分布；有些方针（变量）虽屈就偏态分布 ，但经数据转换后的新变量可屈就正态或近似正态分布 ，可按正态分布规律措置 。个中经对数转换后屈就正态分布的方针 ，被称为屈就对数正态分布 。
医学参考值局限亦称医学正常值局限 。它是指所谓"正巨人"的解剖、心思、生化等方针的闲逛局限。制修订常值局限时 ，起次要断定一批样本含量充分除夜的"正巨人" ，所谓"正巨人"不是指"安康人" ，而是指消弭影响所研究方针的疾病和有关要素的同质人群；其次需屈就研究方针和独霸请求选定安妥的百分界值 ，如80% ，90%，95%和99% ，经常独霸95%；屈就方针的理论用处确订单侧或两侧界值 ，如白细胞计数太高太低皆属不正常须断定两侧界值，又如肝功直达氨酶太高属不正常须确订单侧上界 ，肺活量太低属不正常须确订单侧下界 。此外 ，还要屈就材料的分布特点 ，选用安妥的筹算编制 。经常独霸编制有：
(1)、正态分布法 ：合用于正态或近似正态分布的材料 。
两侧界值 ：X+-u（u）S单侧上界 ：X+u（u）S，或单侧下界：X-u（u）S
(2)、对数正态分布法 ：合用于对数正态分布材料 。
两侧界值：lg-1[X（lgx）+-u（u）S（lgx）]；单侧上界：lg-1[X（lgx）+u（u）S（lgx）] ，或单侧下界：lg-1[X（lgx）-u（u）S（lgx）] 。
经常独霸u值可屈就请求由表4查出 。
(3) 、百分位数法 ：经常独霸于偏态分布材料和资估中一端或两端无切实其实数值的材料 。
两侧界值 ：P2.5和P97.5；单侧上界 ：P95 ，或单侧下界 ：P5 。
表4经常独霸u值表
经常独霸u值表
统计的幻想根本 ：
如t分布 、F分布 、分布都是在正态分布的根本上推导出来的，u考验也是以正态分布为根本的 。此外 ，t分布 、二项分布 、Poisson分布的极限为正态分布 ，在必定前提下，可以按正态分布事理来措置 。
5、员工绩效
除夜部分员工的事业 ，都是一样往常的，做得出格好的特别很是少 ，做得出格差的也不多见。这就是为甚么绩效治理局限 ，会用"活力曲线"来审核事业 。
甚么是"活力曲线"呢？
员工流损掉落踪落率太崇高崇高要不好 。据筹算 ，雇用的过程破钞 ，大年夜大年夜体是这名员工年薪的50％ 。太高的员工流损掉落踪落率 ，意味着损掉落踪落控的雇用成本 。离任的事业丧损掉落踪落，大年夜大年夜体是这名员工年薪的30%-400%。太高的员工流损掉落踪落率，更意味着宏除夜的事业丧损掉落踪落 。
员工流损掉落踪落率太低也不好。极低的员工流损掉落踪落率 ，但凡来自对低绩效的容忍 。准予绩效差的员工留在团队 ，丧损掉落踪落的不成是酬报 ，而是本应掉落踪掉落踪的事业 。此外，绩效差的员工但凡更不肯离开，因为他大年夜大年夜约找不到此外一份工作 。为了安然 ，他会设编制挤走绩效好的人 ，你的团队会愈来愈没有和平力。
通用电气前CEO杰克·韦尔奇认为 ，大年夜师很随便熟谙到员工流损掉落踪落率太高的问题 ，却很难熟谙到流损掉落踪落率太低的风险 ，所以 ，他提出了有名的"末位扩大年夜大年夜制"（也叫"活力曲线"） ，他把员工分为 ：
20%的精细员工 ，70%的中等员工 ，和10%的末位员工 。 末位员工必须汲引本身 ，或转岗 ，或面对扩大年夜大年夜 。
这个轨制 ，被认为是给通用电气带来无量活力的瑰宝之一 。
所以 ，往后上班别偷懒 ，严谨被老板裁损掉落踪落 。惊怕吧 ？
契合正态分布的贸易气候
要不雅不雅不雅不雅不雅不雅不雅不雅不雅不雅不雅不雅不雅不雅不雅不雅查询拜访某一属性的一组数据可否契合正态分布 ，可以有两种编制（如今我晓得这两种，并且这两种编制只是直不美不雅不雅不雅不雅不雅不雅不雅不雅不雅不雅不雅不雅不雅不雅不雅不雅不雅不雅不雅不雅不雅不雅查询拜访 ，不是定量的正态分布考验）：
1 ：在spss(Statistical Package for the Social Sciences，即"社会科学统计软件包")里的根本统计分化下场里的频数统计下场里有对某个变量各个不美不美不雅察值的频数直方图中可以选择绘制正态曲线 。具体以下 ：Analyze-----Descriptive Statistics-----Frequencies ，翻开频数统计对话框 ，在Statistics里可以选择掉落踪掉落踪各类描摹性的统计量 ，如 ：均值、方差 、分位数 、峰度 、 标准差等各类描摹性统计量。在Charts里可以选择展示的图形圭表类型，个中Histograms选项为柱状图也就是我们说的直方图 ，同时可以选择可否绘制 该组数据的正态曲线（With norma curve） ，多么我们可以直不美不雅不雅不雅不雅不雅不雅不雅不雅不雅不雅不雅不雅不雅不雅不雅不雅不雅不雅不雅不雅不雅不雅查询拜访该组数据可否除夜致契合正态分布。以下图：
正态分布图
从上图中可以看出 ，该组数据根本契合正态分布。
2 ：正态分布的Q-Q图 ：在spss里的根本统计分化下场里的试探性分化里面可以经由过程不雅不雅不雅不雅不雅不雅不雅不雅不雅不雅不雅不雅不雅不雅不雅不雅查询拜访数据的q-q图来剖断数据可否屈就正态分布 。
具体法度圭表类型以下 ：Analyze-----Descriptive Statistics-----Explore翻开对话框 ，选择Plots选项 ，选择Normality plots with tests选项 ，可以绘制该组数据的q-q图 。图的横坐标为改削量的不美不美不雅察值，纵坐标为分位数。若该组数据屈就正态分布 ，则图中的点理应接近图中直线 。
纵坐标为分位数 ，是屈就拙布函数公式F(x)=i/n+1得出的.i为把一组数从小到除夜排序后第i个数据的职位 ，n为样本容量 。若该数组屈就正态分布则其q-q图理应与幻想的q-q图（也就是图中的直线）根本契合 。对幻想的标准正态分布 ，其q-q图为y=x直线 。非标准正态分布的斜率为样本标准差 ，截距为样本均值 。
以下图：
spss正态分布Q-Q图
优化猩SEO ：正态分布是贸易界最罕有的一种分布 。当影响下场（或成功）的要素出格多 ，没有哪个要素可以无缺放置下场时 ，这个下场但凡就展示正态分布。
参考链接 ：
正态分布
https://baike.百度.com/item/%E6%AD%A3%E6%80%81%E5%88%86%E5%B8%83/829892
正态分布
https://wiki.mbalib.com/wiki/%E6%AD%A3%E6%80%81%E5%88%86%E5%B8%83
若何用深化易懂的文字诠释正态分布及其意义
https://www.zhihu.com/question/56891433/answer/213354580
改削于2026-07-28
